HIMPUNAN (SET)

Himpunan (set)
· Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
· Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2,…}.
Keanggotaan
x Î A : x merupakan anggota himpunan A;
x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 Î A
5 Ï B
{a, b, c} Î R
c Ï R
{} Î K
{} Ï R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka
a Î P1
a Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3

2. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
· Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan
bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x úsyarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x Î P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2,…, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:

Kardinalitas
· Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
· Notasi: n(A) atau êA ê
Contoh 6.
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3

Himpunan Kosong
· Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null
set).
· Notasi : Æ atau {}
Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
· himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ }
· himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ , {Æ }}
· {Æ } bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen
yaitu himpunan kosong.

Himpunan Bagian (Subset)
· Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika
dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
· Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
· Notasi: A Í B

Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) N Í Z Í R Í C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x ³, y ³ 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B Í A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal
sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A Í A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( Æ Í A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
· Æ Í A dan A Í A, maka Æ dan A disebut himpunan bagian tak
sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper
subset dari A.
· A Í B berbeda dengan A Ì B
(i) A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

Himpunan yang Sama
· A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B
dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
· A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah
himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.
· Notasi : A = B « A Í B dan B Í A
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

Himpunan yang Ekivalen
· Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan
hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
· Notasi : A ~ B « ½A½ = ½B½
Contoh 10.
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab
½A½ = ½B½ = 4

Himpunan Saling Lepas
· Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika
keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
· Notasi : A // B

Contoh 11.
Jika A = { x | x Î P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Himpunan Kuasa
· Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu
himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian
dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
· Notasi : P(A) atau 2A
· Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { Æ , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ ) = {Æ }, dan
himpunan kuasa dari himpunan {Æ } adalah P({Æ }) = {Æ , {Æ }}.

Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
· Notasi : A Ç B = { x |x Î A dan x Î B }

Contoh 14.
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A Ç B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A Ç B = Æ .
Artinya: A // B

b. Gabungan (union)
· Notasi : A È B = { x |x Î A atau x Î B }
Contoh 15.
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A È B = { 2, 5, 7,
8, 22 }
(ii) A È Æ = A


c. Komplemen (complement)
· Notasi : A = { x |x Î U, x Ï A }

Contoh 16.
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2 Î P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh 17. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100
juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau
diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun
1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai
nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à C Ç D Ç B


d. Selisih (difference)
· Notasi : A – B = { x |x Î A dan x Ï B } = A Ç B

Contoh 18.
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B
= { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = Æ
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
· Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)
Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A Å B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS
keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas
80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A Å B = B Å A (hukum komutatif)
(b) (A Å B ) Å C = A Å (B Å C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
· Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }
Contoh 20.
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ =
½A½ . ½B½.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain
(a, b) ¹ (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan
syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,
2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4. Jika A = Æ atau B = Æ , maka A ´ B = B ´ A = Æ
Contoh 21. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi
goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es
dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat
disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 ×3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu
{(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m,
t), (m, d)}.